FRASE DEL DÍA

 

domingo, 6 de febrero de 2011

OLIMPIADA MATEMÁTICA: Problema 1

Comenzamos con el primer problema de la fase provincial de la Olimpiada Matemática del año 2009.

LA RANA SALTARINA DE THALES

Thales tenía una rana saltarina y les planteó un juego a sus discípulos:

1. Si la rana se encuentra en el interior de cada una de las figuras e intenta cruzar todos los lados de las mismas una y sólo una vez, terminando fuera de la figura, ¿en cuántas de esas figuras puede la rana trazar un itinerario de dentro a fuera? Thales le demuestra a los amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo. ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Justifica las respuestas.

2. Utilizando las mismas figuras geométricas que el caso anterior, si la rana empieza y termina dentro de las figuras, ¿podría cruzar todos los lados una y solo una vez? ¿Se podría encontrar análogamente una regla general como en el caso anterior? Justifica las respuestas.

viernes, 4 de febrero de 2011

NUEVOS PROBLEMAS DE OLIMPIADA MATEMÁTICA

Comenzamos una nueva serie de entradas relacionadas con la Olimpiada Matemáticas Thales.
En esta ocasión publicaremos los problemas correspondientes a la XXV edición, tanto de la fase provincial como de la regional.

miércoles, 2 de febrero de 2011

MATEMÁTICAS Y POESÍA: LA SEXTINA

Leyendo el blog "La ciencia es la única noticia", me encuentro con este artículo de Carlo Fabretti en el que analiza de forma matemática la construcción de la sextina.
Como me ha resultado interesante, explicaremos en esta entrada su construcción y su relación con las matemáticas.

Cuadrados latinos
Comenzamos hablando de matemáticas y de los cuadrados latinos. Un cuadrado latino es una matriz cuadrada (tablas de números ordenados en filas y columnas) en la que cada casilla está ocupada por un símbolo de forma que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna.
En la imagen tienes una muestra de un cuadrado de este tipo.
El nombre de cuadrado latino se origina con el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). Un ejemplo de cuadrados latinos son los que se generan en el pasatiempo SUDOKU.

La sextina
Es una composición poética cuya creación se atribuye al trovador Arnaut Daniel a finales del siglo XII (500 años antes del origen de los cuadrados latinos).
La sextina está formada por 39 versos, normalmente endecasílabos (11 versos, 11 es un número primo) estructurados en seis estrofas de seis versos y una final de tres versos.
Las seis estrofas que, con el terceto final, conforman la sextina, carecen de rima, pero cada uno de sus seis versos acaba en una palabra-rima (preferentemente un sustantivo llano y bisílabo).
Estas seis palabras-rimas finales de cada verso, se irán repitiendo en las estrofas siguientes alterando su orden, pero siempre siguiendo una misma ley: las tres primeras palabras-rimas "bajan" para hacer "huecos" entre ellas de modo que la primera pasa al verso segundo, la segunda pasa al verso cuarto y la tercera baja al verso sexto. Quedan por tanto, tres versos libres, el primero, el tercero y el quinto, que son ocupados por las tres palabras-rimas restantes en orden inverso: la sexta en el primer verso, la quinta en el tercero y la cuarta en el quinto. Aplicando esta regla de colocación se obtiene el siguiente esquema:
123456 – 615243 – 364125 – 532614 – 451362 – 246531
En el terceto final se repetirán las seis palabras-rima de forma que las palabras-rimas aparecen a mitad y a final de verso siguiendo el mismo orden que en la primera estrofa, es decir, 12,34,56 entendiendo que 1 está en mitad del primer verso y 2 a final del primer verso, etc.
Si ordenamos los seis versos en forma de matriz obtendríamos la siguiente
1-2-3-4-5-6
6-1-5-4-2-3
3-6-4-1-2-5
4-5-1-3-6-2
2-4-6-5-3-1
que es un cuadrado latino.
Como ejemplo de sextina a continuación tienes una poesía del escritor español, del Siglo de Oro, Fernando de Herrera (1534-1597).

(1) Al bello resplandor de vuestros ojos
(2) mi pecho abrasó Amor en dulce llama
(3) y desató el rigor de fría nieve,
(4) que entorpecía el juego de mi alma,
(5) y en los estrechos lazos de oro y hebras
(6) sentí preso y sujeto al yugo el cuello.

(6) Cayó mi altiva presunción del cuello,
(1) y en vos vieron su pérdida mis ojos,
(5) luego que me rindieron vuestras hebras,
(2) luego que ardí, señora, en tierna llama;
(4) pero alegre en su mal vive mi alma,
(3) y no teme la fuerza de la nieve.

(3) Yo en fuego ardo, vos heláis en nieve,
(6) y, libre del Amor, alzáis el cuello,
(4) ingrata a los tormentos de mi alma;
(1) que aun blandos a su mal no dais los ojos.
(2) Mas siempre la abrasáis en viva llama
(5) y sus alas pendéis en vuestras hebras.

(5) Viese yo las doradas ricas hebras
(3) bañadas de mi llanto, si la nieve
(2) vuestra diese lugar a esta mi llama;
(6) que la dureza de este yerto cuello
(1) la pluvia ablandaría de mis ojos
(4) y en dos cuerpos habría sola un alma.

(4) La celestial belleza de vuestra alma
(5) mi alma enlaza en sus eternas hebras,
(1) y penetra la luz de ardientes ojos,
(3) con divino valor, la helada nieve,
(6) y lleva al alto cielo alegre el cuello
(2) que enciende el limpio ardor inmortal llama.

(2) Amor, que me sustentas en tu llama,
(4) da fuerza al vuelo presto de mi alma,
(6) y, del terreno peso alzando el cuello,
(5) inflamarás la luz de sacras hebras;
(3) que ya, sin recelar la dura nieve,
(1) miro tu claridad con puros ojos.

(12) Por, vos viven mis ojos en su llama,
(34) ¡oh luz del alma!, y las doradas hebras
(56) la nieve rompen y dan gloria al cuello.

martes, 1 de febrero de 2011

¿QUÉ TIENEN QUE VER LOS RÍOS CON EL NÚMERO PI?

Comenzamos una serie de entradas relacionadas con la longitud de los ríos y el número pi.
Como introducción os proponemos la lectura de un pasaje del libro "El enigma de Fermat" de Simon Singh.

" Pitágoras descubrió por primera vez la base matemática que rige un fenómeno físico y demostró que se da una relación fundamental entre las matemáticas y la ciencia. Desde entonces, los científicos han buscado los principios matemáticos que, al parecer, gobiernan cada proceso físico elemental y ha averiguado que los números afloran en todo tipo de fenómenos naturales. Por ejemplo, un número particular parece presidir las longitudes de los ríos con meandros. El catedrático Hans-Enrik Stolum, geólogo de la Universidad de Cambridge, ha calculado la relación entre la longitud real de los ríos, desde su nacimiento hasta la desembocadura, y su longitud medida en línea recta. Aunque la proporción varía de un río a otro, el valor promedio es algo mayor que 3, o sea, que la longitud real es tres veces la distancia en línea recta. En relación, la relación es aproximadamente 3.14, una cifra muy cercana al valor del número pi, la proporción que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
El número pi derivó en su origen de la geometría del círculo y surge una y otra vez en las circunstancias científicas más diversas. En el caso de la relación fluvial, la aparición de pi es el resultado de una pugna entre el orden y el caos. Einstein fue el primero en apuntar que los ríos tienden a serpentear cada vez más porque, por leve que sea a curva en un principio, ésta provoca corrientes más veloces en la orilla externa, que van originando una margen más erosionada y cerrada. Cuanto mayor sea la curvatura en la orilla, mayor será la velocidad de las corrientes en la margen exterior y, con ella, el aumento de la erosión por ese lado. Así, el curso del río se retuerce cada vez más. Sin embargo existe un proceso natural que detiene el caos: el aumento del serpenteo acaba haciendo que el curso se repliegue sobre sí mismo y se "cortocircuite". El río vuelve a enderezarse y el meandro queda abandonado a un lado, convetido en un lago en forma de herradura. El equilibrio entre esos dos factores opuestos conduce a una relación promedio de pi entre la longitud real y la distancia en línea recta desde el nacimiento hasta la desembocadura. La proporción de pi aparece con mayor frecuencia en ríos que fluyen por llanuras de pendientes suaves, como las que hay en Brasil o en la tundra de Siberia."

ACTIVIDADES DE TRIGONOMETRÍA

Como actividad práctica de la Unidad de Trigonometría se propuso al alumnado que realizaran algún cálculo sobre alturas reales del Centro por el método de la doble observación (utilizado para cálculos de alturas de pie inaccesible). Estos son algunos de los trabajos realizados por el alumnado.